Menurut definisi himpunan, himpunan adalah kumpulan objek-objek berbeda yang terdefinisi dengan jelas. Ada kata “berbeda” yang ditekankan di kalimat tersebut. Namun, pada beberapa situasi tertentu, anggota (elemen) himpunan tidak seluruhnya berbeda, misalnya pada beberapa kasus berikut.
- Nama siswa pada suatu sekolah, karena mungkin ada lebih dari satu siswa dengan nama yang sama.
- Bilangan yang terlibat dalam faktorisasi prima dari Perhatikan bahwa sehingga bila dinyatakan dalam himpunan, dan masing-masing dapat ditulis sebanyak dua kali.
Baca: Soal dan Pembahasan – Himpunan (Tingkat SMP/Sederajat)
Himpunan yang anggotanya boleh berulang (tidak harus berbeda) atau boleh muncul lebih dari sekali disebut sebagai himpunan ganda (multiset). Contohnya adalah dan Perhatikan bahwa Pada himpunan ganda, urutan penulisan anggota juga tidak perlu dihiraukan. Jadi,
Multiplisitas
Terminologi pertama dari konsep himpunan ganda adalah multiplisitas (multiplicity). Multiplisitas dari suatu anggota himpunan ganda menyatakan banyaknya kemunculan anggota tersebut, dinotasikan dengan Sebagai contoh: Jika maka:
- multiplisitas anggota adalah dinotasikan
- multiplisitas anggota adalah dinotasikan
- multiplisitas anggota adalah dinotasikan
- multiplisitas anggota adalah dinotasikan
Jika multiplisitas bernilai itu artinya anggota tersebut tidak muncul sama sekali pada himpunan gandanya. Cara menyatakan himpunan ganda biasanya adalah dengan menggunakan multiplisitasnya, yaitu Notasi titik seperti itu identik dengan makna perkalian sebagai penjumlahan berulang, misalnya (4 muncul sebanyak 2 kali). Namun, ada juga literatur lain yang menggunakan tanda titik dua seperti berikut.
Notasi menyatakan bahwa muncul sebanyak kali pada himpunan ganda tersebut.
Bisa kita katakan bahwa himpunan (set) merupakan kasus khusus dari himpunan ganda, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap anggotanya adalah atau Dua himpunan ganda dan dikatakan sama, yakni jika setiap anggotanya memiliki multiplisitas yang sama.
Kardinalitas
Terminologi kedua adalah kardinalitas (cardinality). Kardinalitas pada himpunan ganda menyatakan banyaknya anggota himpunan ganda tersebut dengan mengasumsikan semua anggotanya berbeda. Bisa juga dikatakan bahwa kardinalitas adalah penjumlahan dari semua multiplisitas anggota himpunan. Kardinalitas biasanya disimbolkan dengan menggunakan tanda garis tegak Sebagai contoh, pada himpunan ganda multiplisitas dan berturut-turut adalah dan sehingga kardinalitas himpunan ganda ini adalah
Operasi pada Himpunan Ganda
Operasi pada himpunan ganda sedikit berbeda dengan operasi pada himpunan biasa, yaitu sebagai berikut.
Misalkan dan adalah himpunan ganda.
- adalah himpunan ganda yang multiplisitas anggotanya sama dengan multiplisitas maksimum anggota tersebut pada himpunan dan Misalnya:
- adalah himpunan ganda yang multiplisitas anggotanya sama dengan multiplisitas minimum anggota tersebut pada himpunan dan Misalnya:
- adalah himpunan ganda yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas anggota tersebut pada dikurangi multiplisitasnya pada jika selisihnya positif ATAU jika selisihnya nol atau negatif. Misalnya:
- yang didefinisikan sebagai jumlah dari dua himpunan ganda, adalah himpunan ganda yang multiplisitas anggotanya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas anggota tersebut pada dan Misalnya:
- yang didefinisikan sebagai operasi beda setangkup (symmetric difference), adalah himpunan ganda yang anggotanya ada pada atau tetapi tidak pada keduanya. Definisi lain terkait operasi beda setangkup yang memiliki makna serupa adalah membuat multiplisitas setiap anggota di dalam sama dengan nilai mutlak selisih antara multiplisitas anggota tersebut di dalam dan di dalam Beberapa literatur menggunakan notasi untuk menyatakan operasi beda setangkup. Misalnya:
- Komplemen dari himpunan ganda , dinotasikan sama dengan Dalam kasus ini, menyatakan himpunan semesta. Misalnya:
Himpunan Ganda Bagian
Suatu himpunan ganda disebut sebagai himpunan ganda bagian (multisubset) dari , dinotasikan jika dan hanya jika setiap anggota memiliki multiplisitas yang nilainya kurang dari atau sama dengan multiplisitas anggota yang sama pada Contohnya: Lebih lanjut, disebut sebagai himpunan ganda bagian sejati (proper multisubset) dari dinotasikan jika dan hanya jika dan Contohnya: tetapi
Berikut ini telah disediakan beberapa soal dan pembahasan mengenai himpunan ganda yang disusun dari yang tingkat kesulitannya sederhana sampai kompleks sesuai urutan soalnya. Semoga dapat dijadika referensi untuk meningkatkan pemahaman.
Today Quote
Health is the greatest gift, contentment is the greatest wealth, and faithfulness is the best relationship.
Soal Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Diberikan himpunan ganda Anggota yang memiliki multiplisitas tertinggi adalah
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Multiplisitas pada himpunan ganda menyatakan banyaknya kemunculan anggota himpunan tersebut. Diketahui Multiplisitasnya adalah sebagai berikut.
- muncul sebanyak dua kali, ditulis
- muncul sebanyak dua kali, ditulis
- tidak muncul sama sekali, ditulis
- muncul sebanyak satu kali, ditulis
- muncul sebanyak tiga kali, ditulis
Jadi, anggota yang memiliki multiplisitas tertinggi adalah
(Jawaban E)
[collapse]
Baca: Soal dan Pembahasan – Himpunan (Soal Cerita) Tingkat Lanjut
Soal Nomor 2
Pernyataan berikut yang tidak sesuai dengan himpunan ganda adalah
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Diketahui
Cek opsi A:
Perhatikan bahwa muncul sebanyak 3 kali sehingga multiplisitasnya adalah
Cek opsi B:
Perhatikan bahwa muncul sebanyak 2 kali sehingga multiplisitasnya adalah
Cek opsi C:
Perhatikan bahwa tidak muncul sama sekali sehingga multiplisitasnya adalah Jadi, pernyataan pada opsi C-lah yang tidak sesuai.
Cek opsi D:
Perhatikan bahwa beranggotakan elemen sehingga kardinalitasnya adalah
Cek opsi E:
Perhatikan bahwa semuanya merupakan anggota Jadi, pernyataan adalah pernyataan yang sesuai.
(Jawaban C)
[collapse]
Soal Nomor 3
Diberikan kriteria suatu himpunan ganda sebagai berikut.
- Memiliki anggota berbeda.
- Multiplisitas dari anggota himpunan itu adalah
- Kardinalitas himpunan tersebut adalah
Contoh himpunan ganda yang memenuhi seluruh kriteria di atas adalah
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Cek opsi A:
Himpunan ganda memiliki anggota berbeda, yaitu dan Multiplisitas dan adalah memiliki anggota sehingga kardinalitasnya bernilai Jadi, memenuhi seluruh kriteria yang diberikan.
Cek opsi B:
Himpunan ganda tidak memenuhi kriteria ketiga karena kardinalitasnya adalah
Cek opsi C:
Himpunan ganda tidak memenuhi kriteria kedua karena tidak ditemukan anggota berbeda dari himpunan tersebut yang bermultiplisitas
Cek opsi D:
Himpunan ganda tidak memenuhi kriteria pertama karena hanya memiliki anggota berbeda, yakni dan Lebih lanjut, kriteria kedua juga tidak terpenuhi.
Cek opsi E:
Himpunan ganda tidak memenuhi kriteria ketiga karena kardinalitasnya adalah
(Jawaban A)
[collapse]
Soal Nomor 4
Manakah dari hasil operasi himpunan berikut yang tidak benar jika diketahui dan
-
Pembahasan
Operasi himpunan ganda yang melibatkan dan berupa irisan, gabungan, selisih himpunan terhadap dan penjumlahan kedua himpunan seperti yang ditunjukkan pada opsi A, B, C, dan D sudah benar.
Opsi E tidak benar karena seharusnya karena multiplisitas pada himpunan adalah sedangkan multiplisitasnya pada adalah Jadi, muncul kali.
(Jawaban E)
[collapse]
Soal Nomor 5
Suatu himpunan ganda dengan kardinalitas diiriskan dengan suatu himpunan ganda lain dengan kardinalitas Kardinalitas terkecil yang mungkin dimiliki oleh hasil irisan kedua himpunan ganda tersebut adalah
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Perlu diperhatikan definisi irisan:
adalah himpunan ganda yang multiplisitas anggotanya sama dengan multiplisitas minimum anggota tersebut pada himpunan dan
Asumsikan himpunan ganda pertama memiliki anggota yang berbeda-beda, sedangkan himpunan ganda kedua memiliki anggota yang berbeda-beda juga, dan tidak ada satu pun anggota kedua himpunan ganda ini yang sama sehingga himpunannya saling lepas. Jika demikian, maka hasil irisan kedua himpunan ini adalah (himpunan kosong) karena multiplisitas minimumnya Sebagai ilustrasi:
Catatan: Himpunan ganda tidak mengharuskan ada anggota himpunannya yang bermultiplisitas lebih dari satu. Jika masing-masing anggota muncul sekali, tetap dikatakan sebagai himpunan ganda.
Jadi, kardinalitas terkecil yang mungkin dimiliki oleh hasil irisan kedua himpunan ganda tersebut adalah
(Jawaban A)
[collapse]
Soal Nomor 6
Manakah yang merupakan himpunan bagian dari ?
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Misalkan dengan dan
Cek opsi A:
Perhatikan bahwa pada himpunan multiplisitas adalah sehingga melebihi multiplisitas pada Jadi, himpunan tersebut bukan termasuk himpunan bagian.
Cek opsi B:
Perhatikan bahwa pada himpunan multiplisitas adalah sehingga melebihi multiplisitas pada Jadi, himpunan tersebut bukan termasuk himpunan bagian.
Cek opsi C:
Perhatikan bahwa pada himpunan multiplisitas setiap anggotanya kurang dari atau sama dengan multiplisitas anggota pada sehingga termasuk himpunan bagian.
Cek opsi D:
Perhatikan bahwa pada himpunan multiplisitas adalah sehingga melebihi multiplisitas pada Jadi, himpunan tersebut bukan termasuk himpunan bagian.
Cek opsi E:
Perhatikan bahwa pada himpunan multiplisitas adalah sehingga melebihi multiplisitas pada Jadi, himpunan tersebut bukan termasuk himpunan bagian.
(Jawaban C)
[collapse]
Soal Nomor 7
Banyaknya himpunan bagian ganda tak kosong dari adalah
A. D.
B. E.
C.
Pembahasan
Himpunan bagian tak kosong dari suatu himpunan yang beranggotakan elemen adalah Dengan prinsip yang sama, anggap semua anggota pada himpunan ganda berbeda semuanya. Dalam kasus ini, beranggotakan elemen sehingga banyaknya himpunan ganda bagian tak kosong darinya adalah
(Jawaban D)
[collapse]
Baca: Soal dan Pembahasan – Himpunan (Soal Non-cerita)
Soal Nomor 8
Diketahui dua himpunan ganda
Hasil dari adalah
A.
B.
C.
D.
E.
Pembahasan
Hasil operasi beda setangkup dari himpunan dan adalah himpunan ganda yang anggotanya ada di atau tetapi tidak pada keduanya (dengan menganggap setiap anggotanya berbeda semua), yakni
Hasil gabungan himpunan dan adalah himpunan ganda yang anggotanya bermultiplisitas maksimum pada dan yakni
Dengan demikian, kita peroleh hasil irisan berikut.
Jadi, hasil dari adalah
(Jawaban C)
[collapse]
Soal Nomor 9
Diketahui empat himpunan ganda berikut.
Kardinalitas dari adalah
A. C. E.
B. D.
Pembahasan
Perhatikan bahwa dari empat himpunan ganda tersebut, muncul paling banyak kali, sedangkan muncul paling banyak kali. Oleh karena itu, gabungan dari keempat himpunan itu dinyatakan oleh
Karena beranggotakan elemen, maka kardinalitasnya adalah
(Jawaban D)
[collapse]
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Diketahui empat himpunan ganda berikut.
Notasi menyatakan multiplisitas pada himpunan Tentukan:
a.
b.
c.
d.
Pembahasan
Jawaban a)
Notasi menyatakan multiplisitas pada himpunan Diketahui bahwa dan terlihat bahwa muncul satu kali sehingga
Jawaban b)
Notasi menyatakan multiplisitas pada himpunan Diketahui bahwa dan terlihat bahwa muncul tiga kali sehingga
Jawaban c)
Notasi menyatakan multiplisitas pada himpunan Diketahui bahwa dan terlihat bahwa muncul dua kali sehingga
Jawaban d)
Notasi menyatakan multiplisitas pada himpunan Diketahui bahwa dan terlihat bahwa muncul satu kali sehingga
[collapse]
Soal Nomor 2
Diketahui himpunan ganda dan Tentukan hasil operasi himpunan berikut.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Pembahasan
Diketahui:
Jawaban a)
Irisan dari dan dinyatakan oleh
Jawaban b)
Gabungan dari dan dinyatakan oleh
Jawaban c)
Selisih terhadap dinyatakan oleh
Jawaban d)
Selisih terhadap dinyatakan oleh
Jawaban e)
Jumlah dari dan dinyatakan oleh
Jawaban f)
Beda setangkup dari dan dinyatakan oleh
[collapse]
Soal Nomor 3
Diketahui himpunan ganda berikut dengan sebagai himpunan semesta.
Tentukan hasil operasi himpunan berikut.
a.
b.
c.
d.
Pembahasan
Perhatikan bahwa notasi menyatakan komplemen dari himpunan artinya anggota himpunan semesta yang bukan menjadi anggota
Oleh karena itu, kita peroleh bahwa
Jawaban a)
Jawaban b)
Jawaban c)
Jawaban d)
[collapse]