Materi, Soal, dan Pembahasan – Himpunan Ganda (Multiset)

Menurut definisi himpunan, himpunan adalah kumpulan objek-objek berbeda yang terdefinisi dengan jelas. Ada kata “berbeda” yang ditekankan di kalimat tersebut. Namun, pada beberapa situasi tertentu, anggota (elemen) himpunan tidak seluruhnya berbeda, misalnya pada beberapa kasus berikut.

  1. Nama siswa pada suatu sekolah, karena mungkin ada lebih dari satu siswa dengan nama yang sama.
  2. Bilangan yang terlibat dalam faktorisasi prima dari 100. Perhatikan bahwa 100=22×52 sehingga bila dinyatakan dalam himpunan, 2 dan 5 masing-masing dapat ditulis sebanyak dua kali.

Baca: Soal dan Pembahasan – Himpunan (Tingkat SMP/Sederajat) 

Himpunan yang anggotanya boleh berulang (tidak harus berbeda) atau boleh muncul lebih dari sekali disebut sebagai himpunan ganda (multiset). Contohnya adalah {1,1,2,2,4}, {a,b,b,c}, dan {Kevin,Stevanni,Kevin,Sanjaya}.Perhatikan bahwa {1,1,2,2,4}{1,2,4}. Pada himpunan ganda, urutan penulisan anggota juga tidak perlu dihiraukan. Jadi, {1,1,2,2,4}={1,2,4,2,1}.

Multiplisitas

Terminologi pertama dari konsep himpunan ganda adalah multiplisitas (multiplicity). Multiplisitas dari suatu anggota himpunan ganda A menyatakan banyaknya kemunculan anggota tersebut, dinotasikan dengan VA(elemen). Sebagai contoh: Jika A={1,1,2,3,3,3,4,4}, maka:

  1. multiplisitas anggota 1 adalah 2, dinotasikan VA(1)=2,
  2. multiplisitas anggota 2 adalah 1, dinotasikan VA(2)=1,
  3. multiplisitas anggota 3 adalah 3, dinotasikan VA(3)=3,
  4. multiplisitas anggota 4 adalah 2, dinotasikan VA(4)=2.

Jika multiplisitas bernilai 0, itu artinya anggota tersebut tidak muncul sama sekali pada himpunan gandanya. Cara menyatakan himpunan ganda biasanya adalah dengan menggunakan multiplisitasnya, yaitu A={21,12,33,24}.Notasi titik seperti itu identik dengan makna perkalian sebagai penjumlahan berulang, misalnya 2×4=4+4 (4 muncul sebanyak 2 kali). Namun, ada juga literatur lain yang menggunakan tanda titik dua seperti berikut.
A={1:2,2:1,3:3,4:2}.Notasi 1:2 menyatakan bahwa 1 muncul sebanyak 2 kali pada himpunan ganda tersebut. 

Bisa kita katakan bahwa himpunan (set) merupakan kasus khusus dari himpunan ganda, yang dalam hal ini multiplisitas dari setiap anggotanya adalah 0 atau 1. Dua himpunan ganda A dan B dikatakan sama, yakni A=B, jika setiap anggotanya memiliki multiplisitas yang sama.

Kardinalitas

Terminologi kedua adalah kardinalitas (cardinality). Kardinalitas pada himpunan ganda menyatakan banyaknya anggota himpunan ganda tersebut dengan mengasumsikan semua anggotanya berbeda. Bisa juga dikatakan bahwa kardinalitas adalah penjumlahan dari semua multiplisitas anggota himpunan. Kardinalitas biasanya disimbolkan dengan menggunakan tanda garis tegak ||. Sebagai contoh, pada himpunan ganda A={a,a,b,b,b,c}, multiplisitas a,b, dan c berturut-turut adalah 2,3, dan 1 sehingga kardinalitas himpunan ganda ini adalah |A|=2+3+1=6.

Operasi pada Himpunan Ganda

Operasi pada himpunan ganda sedikit berbeda dengan operasi pada himpunan biasa, yaitu sebagai berikut.
Misalkan P dan Q adalah himpunan ganda.

  1. PQ adalah himpunan ganda yang multiplisitas anggotanya sama dengan multiplisitas maksimum anggota tersebut pada himpunan P dan Q. Misalnya:
    P={a,a,a,b,c,c,d}Q={a,a,b,b,c,d,d}PQ={a,a,a,b,b,c,c,d,d}
  2. PQ adalah himpunan ganda yang multiplisitas anggotanya sama dengan multiplisitas minimum anggota tersebut pada himpunan P dan Q. Misalnya:
    P={a,a,a,b,c,c,d}Q={a,a,b,b,c,d,d}PQ={a,a,b,c,d}
  3. PQ adalah himpunan ganda yang multiplisitas elemennya sama dengan multiplisitas anggota tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q jika selisihnya positif ATAU 0 jika selisihnya nol atau negatif. Misalnya:
    P={a,a,a,b,c,c,d}Q={a,a,b,b,c,d,d}PQ={a,c}QP={b,d}
  4. P+Q, yang didefinisikan sebagai jumlah dari dua himpunan ganda, adalah himpunan ganda yang multiplisitas anggotanya sama dengan penjumlahan dari multiplisitas anggota tersebut pada P dan Q. Misalnya:
    P={a,a,a,b,c,c,d}Q={a,a,b,b,c,d,d}P+Q={a,a,a,a,a,b,b,b,c,c,c,d,d,d}
  5. PQ, yang didefinisikan sebagai operasi beda setangkup (symmetric difference), adalah himpunan ganda yang anggotanya ada pada P atau Q, tetapi tidak pada keduanya. Definisi lain terkait operasi beda setangkup yang memiliki makna serupa adalah membuat multiplisitas setiap anggota di dalam PQ sama dengan nilai mutlak selisih antara multiplisitas anggota tersebut di dalam P dan di dalam Q. Beberapa literatur menggunakan notasi Δ untuk menyatakan operasi beda setangkup. Misalnya:
    P={a,a,a,b,c,c,d}Q={a,a,b,b,c,d,d}PQ={a,b,c,d}
  6. Komplemen dari himpunan ganda P, dinotasikan PC, sama dengan SP. Dalam kasus ini, S menyatakan himpunan semesta. Misalnya:
    S={a,a,a,b,b,c,c,c,d,d}P={a,a,a,b,c,c,d}Q={a,a,b,b,c,d,d}PC={b,c,d}QC={a,c,c}

Himpunan Ganda Bagian

Suatu himpunan ganda A disebut sebagai himpunan ganda bagian (multisubset) dari B, dinotasikan AB, jika dan hanya jika setiap anggota A memiliki multiplisitas yang nilainya kurang dari atau sama dengan multiplisitas anggota yang sama pada B. Contohnya: {1,2,2}{1,1,2,2,3,3}. Lebih lanjut, A disebut sebagai himpunan ganda bagian sejati (proper multisubset) dari B, dinotasikan AB, jika dan hanya jika AB dan AB. Contohnya: {1,2,2,3,3}{1,2,2,3,3}, tetapi {1,2,2,3,3}{1,2,2,3,3}.

Berikut ini telah disediakan beberapa soal dan pembahasan mengenai himpunan ganda yang disusun dari yang tingkat kesulitannya sederhana sampai kompleks sesuai urutan soalnya. Semoga dapat dijadika referensi untuk meningkatkan pemahaman.

Today Quote

Health is the greatest gift, contentment is the greatest wealth, and faithfulness is the best relationship.

Soal Pilihan Ganda

Soal Nomor 1
Diberikan himpunan ganda Z={1,0,0,3,4,4,4,1}. Anggota Z yang memiliki multiplisitas tertinggi adalah
A. 0                   C. 2                    E. 4
B. 1                   D. 3

Pembahasan

Baca: Soal dan Pembahasan – Himpunan (Soal Cerita) Tingkat Lanjut

Soal Nomor 2
Pernyataan berikut yang tidak sesuai dengan himpunan ganda Y={1,a,2,2,b,b,b,c,c,3} adalah
A. VY(b)=3
B. VY(c)=2
C. VY(4)=1
D. |Y|=10
E. 1,2,3Y

Pembahasan

Soal Nomor 3
Diberikan kriteria suatu himpunan ganda sebagai berikut.

  1. Memiliki 4 anggota berbeda.
  2. Multiplisitas 3 dari 4 anggota himpunan itu adalah 2.
  3. Kardinalitas himpunan tersebut adalah 9.

Contoh himpunan ganda yang memenuhi seluruh kriteria di atas adalah
A. A={a,a,b,b,c,c,d,d,d}
B. B={a,a,b,c,c,d,d}
C. C={a,b,c,d,d,d,d,d,d}
D. D={a,a,a,b,b,b,c,c,c}
E. E={a,a,b,b,c,c,d,d}

Pembahasan

Soal Nomor 4
Manakah dari hasil operasi himpunan berikut yang tidak benar jika diketahui A={1,1,2,2,2,3,3,4,4} dan B={1,2,3,4,4,5}?

  1. AB={1,2,3,4,4}
  2. AB={1,1,2,2,2,3,3,4,4,5}
  3. AB={1,2,2,3}
  4. A+B={1,1,1,2,2,2,2,3,3,3, 4,4,4,4,5}
  5. BA={}

Pembahasan

Soal Nomor 5
Suatu himpunan ganda dengan kardinalitas 8 diiriskan dengan suatu himpunan ganda lain dengan kardinalitas 7. Kardinalitas terkecil yang mungkin dimiliki oleh hasil irisan kedua himpunan ganda tersebut adalah
A. 0                    C. 2                  E. 15
B. 1                    D. 8

Pembahasan

Soal Nomor 6
Manakah yang merupakan himpunan bagian dari {x,x,y,y,z,z,z}?
A. {x,x,x,y,z}
B. {x,y,y,y,z,z}
C. {x,y,z,z,z}
D. {x,x,y,y,z,z,z,z}
E. {x,x,y,y,y,z,z}

Pembahasan

Soal Nomor 7
Banyaknya himpunan bagian ganda tak kosong dari H={1,01,01,01,001,001,0001} adalah
A. 256                      D. 127
B. 255                      E. 63
C. 128

Pembahasan

Baca: Soal dan Pembahasan – Himpunan (Soal Non-cerita)

Soal Nomor 8
Diketahui dua himpunan ganda
A={0,0,0,1,1,2,2,3,3,3}B={0,1,1,1,2,3,3,3,3}Hasil dari (AB)(AB) adalah
A. {0,1,2,3}
B. {0,0,1,3}
C. {0,0,1,2,3}
D. {1,1,2,3}
E. {1,2,2,3}

Pembahasan

Soal Nomor 9
Diketahui empat himpunan ganda berikut.
M={2,2,2,3}A={2,2,3,3}T={2,3,3,3}H={3,3,3,3}Kardinalitas dari MATH adalah
A. 2                  C. 5                E. 12
B. 4                  D. 7

Pembahasan

Bagian Uraian

Soal Nomor 1
Diketahui empat himpunan ganda berikut.
H={0,01,001,0001,00001,00001}E={0,0,0,01,01,01}R={01,01,001,0001,0001}O={0,01,01,0001,00001}Notasi VA(x) menyatakan multiplisitas x pada himpunan A. Tentukan:
a. VH(01)
b. VE(0)
c. VR(0001)
d. VO(00001)

Pembahasan

Soal Nomor 2
Diketahui himpunan ganda P={0,0,1,1,1,1,2,2,3} dan Q={0,1,2,3,3,3,3,4,4}. Tentukan hasil operasi himpunan berikut.
a. PQ
b. PQ
c. PQ
d. QP
e. P+Q
f. PQ

Pembahasan

Soal Nomor 3
Diketahui 4 himpunan ganda berikut dengan S sebagai himpunan semesta.
S={0,0,3,6,6,9,9,9,12}A={0,3,6,6,9}K={0,0,6,6,9,9U={0,3,9,9,12}Tentukan hasil operasi himpunan berikut.
a. ACKCUC
b. (AKU)C
c. ACKCUC
d. (AKU)C

Pembahasan

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *